Medida (matemática)

Em matemática, uma medida é uma função que atribui um valor aos subconjuntos de um conjunto S.^[1] Quando a medida é positiva e a medida de S é 1, diz-se que a medida é uma probabilidade.

Uma medida positiva definida numa σ-algebra X de subconjuntos de um conjunto S é uma função ${\displaystyle \mu :X\to [0,\infty )\,\!}$ tal que:

• ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$
• ${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}$, para qualquer coleção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

Os elementos, neste caso conjuntos, de X chamam-se conjuntos X-mensuráveis (ou apenas conjuntos mensuráveis).

São conseqüências diretas da definição de medida postiva:

• Não-negatividade:

${\displaystyle \mu (E)\geq 0,~~\forall E\in X\,}$

Prova:

• Monotonicidade

${\displaystyle A\subseteq B\Longrightarrow \mu (A)\leq \mu (B),~~~\forall A,B\in X\,}$

Prova: Como ${\displaystyle A\subseteq B}$, vale que ${\displaystyle B=A\cup (B\backslash A)}$, sendo esta união disjunta. Logo, da definição de medida, vale que ${\displaystyle \mu (B)=\mu (A)+\mu (B\backslash A)\geq \mu (A)}$, pela não-negatividade de ${\displaystyle \mu }$.

• ${\displaystyle \mu (E)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&E=\emptyset \\1,&E=S\end{array}}\right.}$

Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo.

• Medida de Dirac:

${\displaystyle \delta _{x_{0}}(E)=\left\{{\begin{array}{ll}1,&x_{0}\in E\\0,&c.c.\end{array}}\right.}$

• As medidas de Borel e de Lebesgue em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ verificam a propriedade ${\displaystyle \lambda [a,b]=b-a\,\!}$

Uma medida complexa numa σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função ${\displaystyle \mu :X\to \mathbb {C} \,\!}$ tal que:

• ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$
• ${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}$, para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente.

• Seja ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} \,}$ uma função complexa Lebesgue integrável. Então

${\displaystyle \nu (E):=\int _{E}f(x)d\mu \,}$ define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Algumas medidas possuem propriedades adicionais:

• Medida completa:

Se ${\displaystyle Z\,}$ tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.)

• Medida invariante por translações:

${\displaystyle \mu (A+\lambda )=\mu (A),~~\forall A\in X\,}$, onde ${\displaystyle A+\lambda =\{x+\lambda :x\in A\}}$

(contanto que a soma esteja bem definida no espaço em questão.)

• Medida de Borel:

Os abertos e portanto todos os conjuntos borelianos são mensuráveis.

• Regularidade interior:

${\displaystyle \mu (A)=\sup _{K\subseteq A}\mu (K),~~\forall A\in X}$ e ${\displaystyle K\,}$ são compactos.

• Regularidade exterior:

${\displaystyle \mu (A)=\inf _{A\subseteq V}\mu (V),~~\forall A\in X}$ e ${\displaystyle V\,}$ são abertos.

• Medida finita: o espaço inteiro tem medida finita.

${\displaystyle \mu (S)<\infty \,}$

• Medida ${\displaystyle \sigma -}$finita: o espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita.

${\displaystyle S=\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n},~~\mu (E_{n})<\infty }$

• Medida localmente finita: todo compacto é mensurável e tem medida finita

${\displaystyle \mu (K)<\infty \,}$, para todo compacto ${\displaystyle K\,}$

Referências