Distribució normal multivariable

Distribució normal multivariable

Mostres d'una distribució normal bivariable, dibuixades juntament amb l'el·lipse 3-sigma, les dues distribucions marginals i els dos histogrames unidimensionals
Tipus	Distribució el·líptica, distribució conjunta i Distribució normal matricial
Notació	${\displaystyle {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}$
Paràmetres	μ ∈ Rd — posició Σ ∈ Rd×d — matriu de variàncies-covariància (matriu semidefinida positiva)
Suport	Rd, si Σ és definida positiva, μ+span(Σ) ⊆ Rd, cas general.
fdp	${\displaystyle (2\pi )^{-{\frac {d}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-{\frac {1}{2}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})},}$ existeix tan sols quan Σ és definida positiva
FD	(no té expressió analítica)
Esperança matemàtica	μ
Moda	μ
Variància	Σ
Entropia	${\displaystyle {\frac {d}{2}}(1+\ln(2\pi ))+{\frac {1}{2}}\ln |{\boldsymbol {\Sigma }}|}$
FC	${\displaystyle \exp \!{\Big (}i{\boldsymbol {\mu }}'\mathbf {t} -{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} {\Big )}}$
Mathworld	MultivariateNormalDistribution

En teoria de probabilitat i estadística, la distribució normal multivariable o multidimensional o distribució gaussiana multivariable o multidimensional és una generalització de la distribució normal unidimensional (univariable) en dimensions superiors. Una definició possible és que un vector aleatori té distribució normal d-variable si totes les combinacions lineals de les seves components segueixen una distribució normal univariable. La seva importància es deriva principalment del teorema del límit central multivariable i les seves aplicacions, tant en Teoria de la probabilitat com en Estadística multivariant. La distribució normal multivariable s'utilitza sovint per descriure, almenys aproximadament, qualsevol conjunt de variables aleatòries reals (possiblement) correlacionades cadascuna de les quals es concentra al voltant d'un valor mitjà.

Les referències bàsiques d'aquest article són Tong ^[1] i Bryc ^[2] per a la part probabilistica, i Anderson ^[3] i Seber ^{[4] [5]} per a les aplicacions estadístiques.

Vector aleatori normal amb funció de densitat

Notacions. Seguint les convencions de l'àlgebra lineal, escriurem tots els vectors en columna i identificarem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ amb el conjunt de vectors reals ${\displaystyle d}$-dimensionals. Denotarem per ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}'}$ la transposada de la matriu o del vector ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$.

Començarem pel cas més senzill i habitual en què el vector aleatori normal té densitat, també anomenat vector aleatori normal no singular o no degenerat. Més endavant veurem el cas general.

Definició. Un vector aleatori ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})'}$ es diu que és normal (no singular) ^[6] o que té distribució normal multidimensional o multivariable (no singular) si té funció de densitat

on ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=(\mu _{1},\dots ,\mu _{d})'\in \mathbb {R} ^{d}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ és una matriu (real) ${\displaystyle d\times d}$ definida positiva ^[7] i ${\displaystyle {\text{det}}\ {\boldsymbol {\Sigma }}>0}$ és el seu determinant. S'escriu ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$, o bé ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$ si es vol remarcar la dimensió del vector; en aquest article utilitzarem aquesta segona notació. Quan ${\displaystyle d=1}$, es tracta d'una variable aleatòria normal amb mitjana ${\displaystyle \mu }$ i variància ${\displaystyle \sigma ^{2}={\boldsymbol {\Sigma }}}$, i s'escriu ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ en lloc de ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{1}(\mu ,\sigma ^{2})}$.

Com demostrarem més endavant, el vector ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ és el vector d'esperances de ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ la seva matriu de variàncies-covariàncies:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=E[{\boldsymbol {X}}]={\big (}E[X_{1}],\dots ,E[X_{d}]{\big )}'\quad {\text{i}}\quad {\boldsymbol {\Sigma }}={\big (}\sigma _{ij}{\big )}_{i,j=1\dots ,d}={\big (}{\text{Cov}}(X_{i},X_{j}){\big )}_{i,j=1\dots ,d}.}$$

${\displaystyle Z_{1},\dots ,Z_{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {Z}}=(Z_{1},\dots ,Z_{d})'}$

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\dots ,x_{d})'\in \mathbb {R} ^{d}}$

$${\displaystyle f_{\boldsymbol {Z}}({\boldsymbol {x}})=f_{Z_{1}}(x_{1})\cdots f_{Z_{d}}(x_{d})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x_{1}^{2}/2}\cdots {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x_{d}^{2}/2}={\frac {1}{(2\pi )^{d/2}}}\,{\text{exp}}{\Big \{}-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{d}x_{j}^{2}{\Big \}}={\frac {1}{(2\pi )^{d/2}}}\,e^{-{\boldsymbol {x}}'{\boldsymbol {x}}/2}.}$$

Per tant, ${\displaystyle {\boldsymbol {Z}}}$ és un vector aleatori normal, amb ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\boldsymbol {0}}=(0,\dots ,0)^{\prime }}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}={\boldsymbol {I}}_{d}}$ (matriu identitat). Així, ${\displaystyle {\boldsymbol {Z}}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{d})}$. Noteu que aquests valors de ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ són coherents amb el fet que ${\displaystyle E[Z_{i}]=0}$ i ${\displaystyle {\text{Var}}(Z_{i})=1}$, ${\displaystyle i=1,\dots ,d}$, i ${\displaystyle {\text{Cov}}(Z_{i},Z_{j})=0,\ i\neq j}$ .

Per posterior us, comentem que la funció característica de ${\displaystyle {\boldsymbol {Z}}}$ és el producte de les funcions característiques de les components i val

El·lipsoides d'equidensitat. ^[9] La funció de densitat (1) és constant sobre els el·lipsoides ${\displaystyle d}$-dimensionals de la forma

$${\displaystyle ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }})'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }})=c^{2},}$$

${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}=\sigma {\boldsymbol {I}}_{d}}$

Vector aleatori normal bidimensional

Vegem l'expressió de la funció de densitat (1) quan ${\displaystyle d=2}$ ^[11]. Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},X_{2})'\sim {\mathcal {N}}_{2}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$. Tindrem

$${\displaystyle E{\begin{pmatrix}X_{1}\\X_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mu _{1}\\\mu _{2}\end{pmatrix}}.}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}={\begin{pmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\rho \sigma _{1}\sigma _{2}\\\rho \sigma _{1}\sigma _{2}&\sigma _{2}^{2}\end{pmatrix}},}$$

$${\displaystyle \sigma _{11}=\sigma _{1}^{2}={\text{Var}}(X_{1})=E[X_{1}^{2}]-\mu _{1}^{2},}$$

${\displaystyle \sigma _{22}=\sigma _{2}^{2}}$

${\displaystyle X_{2}}$

${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle X_{1}}$

${\displaystyle X_{2}}$

$${\displaystyle \rho ={\frac {{\text{Cov}}(X_{1},X_{2})}{\sqrt {{\text{Var}}(X_{1})\,{\text{Var}}(X_{2})}}}={\frac {\sigma _{12}}{\sigma _{1}\sigma _{2}}},}$$

${\displaystyle -1<\rho <1}$

${\displaystyle {\text{det}}\ {\boldsymbol {\Sigma }}>0}$

La inversa de ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ és

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}={\frac {1}{1-\rho ^{2}}}\,{\begin{pmatrix}1/\sigma _{1}^{2}&-\rho /(\sigma _{1}\sigma _{2})\\-\rho /(\sigma _{1}\sigma _{2})&1/\sigma _{2}^{2}\end{pmatrix}}.}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$

Podem pensar en aquesta funció de densitat com una superfície a l'espai, amb forma de campana i màxim en el punt ${\displaystyle (\mu _{1},\mu _{2})}$. Vegeu a la Figura 1 una representació de la funció ${\displaystyle z=f(x,y)}$

Els el·lipsoides d'equidensitat són ara les el·lipses ^[9].

$${\displaystyle {\frac {(x_{1}-\mu _{1})^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}-2\rho \,{\frac {(x_{1}-\mu _{1})(x_{2}-\mu _{2})}{\sigma _{1}\sigma _{2}}}+{\frac {(x_{2}-\mu _{2})^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}=c^{2}.}$$

Aquestes el·lipses serien les corbes de nivell (no dibuixades a la Figura 1) en un mapa topogràfic .

Quan ${\displaystyle \rho =0}$ (és a dir, les variables són independents) i ${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}}$, aleshores les el·lipses esdevenen circumferències.

Definició: cas general

En aplicacions importants, com per exemple la distribució dels residus en models de regressió lineal o la distribució asimptòtica de la distribució multinomial que dóna lloc al test de la ${\displaystyle \chi ^{2}}$ de Pearson, es fa palesa la necessitat d'utilitzar vectors aletoris normals que tenen matriu de variàncies-covariàncies amb determinant nul (matriu singular), que s'anomenen vectors aleatoris normals singulars o degenerats;^[8] necessàriament aquests vectors no tenen funció de densitat i per tant, cal donar una definició que no utilitzi aquesta funció.

En aquest context, els llibres donen diverses definicions (equivalents) de vector aleatori normal multidimensional general. Aquí citarem les tres més habituals; la definició (a) es troba a Bryc ^[2], la (b) a Nualart-Sanz ^[12] i la (c) a Seber.^[13]

(a) Es diu que un vector aleatori ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ és normal si qualsevol combinació lineal de les seves components és una variable aleatòria normal.

(b) Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ una matriu ${\displaystyle d\times d}$ semidefinida positiva i ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {R} ^{d}}$. Un vector aleatori ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ es diu que és normal ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$ si té funció característica

(c) Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ una matriu ${\displaystyle d\times d}$ semidefinida positiva i ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {R} ^{d}}$. Un vector aleatori ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ es diu que és normal ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$ si té la mateixa llei que ${\displaystyle {\boldsymbol {BZ}}+{\boldsymbol {\mu }},}$ on ${\displaystyle {\boldsymbol {Z}}\sim {\mathcal {N}}_{k}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{k})}$ (és dir, té funció de densitat (2)), i ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ és qualsevol matriu ${\displaystyle d\times k}$ tal que ${\displaystyle {\boldsymbol {BB'}}={\boldsymbol {\Sigma }}}$ (sempre existeix almenys una matriu ${\displaystyle B}$ amb aquestes característiques ^[14]).

Notació i nomenclatura. A partir d'ara, utilitzarem la notació ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})^{\prime }\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$ per referir-nos a un vector aleatori normal ${\displaystyle d}$-dimensional, ja sigui singular o no singular. També es diu que les variables aleatòries ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{d}}$ tenen distribució conjunta normal o que són conjuntament normals.

Cas singular i cas no singular. Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$, amb ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ semidefinida positiva.

(i) Si ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ és definida positiva (cas no singular), això és, ${\displaystyle {\text{det}}\ {\boldsymbol {\Sigma }}>0}$, aleshores ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ té funció de densitat donada per (1). El suport de ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ és ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$.

(ii) Si ${\displaystyle {\text{det}}\ {\boldsymbol {\Sigma }}=0}$ (cas singular), aleshores ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ no té funció de densitat. Si el rang de ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ és ${\displaystyle r<d}$, llavors ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ està concentrada en una varietat lineal de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ de dimensió ${\displaystyle r}$ ^[15], concretament en ${\displaystyle \mu +{\text{Span}}({\boldsymbol {\Sigma }})}$, on ${\displaystyle {\text{Span}}({\boldsymbol {\Sigma }})}$ designa el subespai vectorial de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ generat per les columnes de ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$.

Cal notar que si ${\displaystyle {\text{det}}\ {\boldsymbol {\Sigma }}>0}$, aleshores ${\displaystyle \mu +{\text{Span}}({\boldsymbol {\Sigma }})=\mathbb {R} ^{d}}$ .

Vegeu la demostració d'aquestes propietats al final de la següent secció de Propietats.

Exemple d'un vector aleatori normal singular

Considerem una variable aleatòria normal estàndard ${\displaystyle Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$. Definim el vector aleatori

$${\displaystyle {\boldsymbol {X}}={\begin{pmatrix}~~Z\\-Z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}~~1\\-1\end{pmatrix}}Z.}$$

La seva matriu de variàncies-covariàncies és

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}={\begin{pmatrix}~~1&-1\\-1&~~1\end{pmatrix}},}$$

que té rang 1.

D'altra banda, aquest vector està concentrat en la recta ${\displaystyle r=\{(x,y):\ y=-x\}}$, és a dir, ${\displaystyle P{\big (}(Z,-Z)\in r{\big )}=1}$; però llavors, no pot tenir funció de densitat, ja que si existís una funció ${\displaystyle f(x,y)}$ no negativa tal que per a qualsevol conjunt borelià ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{2}}$ tinguéssim

$${\displaystyle P{\big (}(Z,-Z)\in B{\big )}=\iint _{B}f(x,y)\,dx\,dy,}$$

aleshores

$${\displaystyle P{\big (}(Z,-Z)\in r{\big )}=\iint _{r}f(x,y)\,dx\,dy=0,}$$

ja que ${\displaystyle r}$ té mesura de Lebesgue 0 en el pla, la qual cosa és contradictori amb ${\displaystyle P{\big (}(Z,-Z)\in r{\big )}=1}$.

És clar que tota combinació lineal de les components de ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ és una variable normal.

Respecte la segona definició, la seva funció característica és

$${\displaystyle \varphi _{\boldsymbol {X}}(s,t)=e^{-(s-t)^{2}/2},}$$

però

$${\displaystyle (s,t){\begin{pmatrix}~~1&-1\\-1&~~1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}}=(s-t)^{2},}$$

i, per tant, la funció característica té la forma (4).

Finalment, tal com hem vist, ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}={\boldsymbol {B}}Z}$, amb ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=(1,-1)^{\prime }}$, que satisfà ${\displaystyle {\boldsymbol {BB'}}={\boldsymbol {\Sigma }}}$ i per tant també es compleix la condició donada a la definició (c).

En resum, partint de qualsevol de les definicions que hem donat, ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ és un vector aleatori normal bidimensional.

Demostració de l'equivalència de les tres definicions de vector aleatori normal

Vegem que (a) ${\displaystyle \Rightarrow }$ (b). Suposem que ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ compleix la condició expressada a (a). En primer lloc, cada component d'aquest vector té esperança i variància ja que, per exemple, ${\displaystyle X_{1}=(1,0,\dots ,0){\boldsymbol {X}}}$, i, per hipòtesi, és normal. Llavors ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ tindrà esperança, que designem per ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ i matriu de variàncies-covariàncies que denotarem per ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$. Fixem ${\displaystyle {\boldsymbol {t}}\in \mathbb {R} ^{d}}$ i sigui ${\displaystyle T=t'{\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{T},\sigma _{T}^{2})}$; anem a calcular ${\displaystyle \mu _{T}}$ i ${\displaystyle \sigma _{T}}$: per les propietats de l'esperança d'un vector aleatori i de la matriu de variàncies-covariàncies,

$${\displaystyle \mu _{T}=E[T]={\boldsymbol {t}}'E[{\boldsymbol {X}}]={\boldsymbol {t'\mu }}\quad {\text{i}}\quad \sigma _{Y}^{2}={\text{Var}}({\boldsymbol {t}}'{\boldsymbol {X}})={\boldsymbol {t'\Sigma t}}.}$$

Aleshores, podem calcular la funció característica de ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ de la següent manera:

$${\displaystyle \varphi _{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {t}})=E[e^{i{\boldsymbol {t}}'{\boldsymbol {X}}}]=E[e^{iT}]=\varphi _{T}(1)=e^{i\mu _{T}-\sigma _{T}^{2}/2}=e^{i\,{\boldsymbol {t}}'{\boldsymbol {\mu }}-{\boldsymbol {t}}'{\boldsymbol {\Sigma }}{\boldsymbol {t}}/2},}$$

que és el que volíem demostrar.

Vegem que (b) ${\displaystyle \Rightarrow }$ (c). En efecte, suposem ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ te rang ${\displaystyle k}$. Aleshores, existeix una matriu ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle d\times k}$ de rang ${\displaystyle k}$ tal que ${\displaystyle {\boldsymbol {BB'}}={\boldsymbol {\Sigma }}}$ ^[14].Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {Z}}\sim {\mathcal {N}}_{k}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{k})}$i definim ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {BZ}}+{\boldsymbol {\mu }}}$. El vector ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ té la mateixa distribució que ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$, ja que la funció característica de ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ és (vegeu les propietats de les funcions característiques multidimensionals)

$${\displaystyle \varphi _{\boldsymbol {U}}({\boldsymbol {t}})=e^{i{\boldsymbol {t'\mu }}}\varphi _{\boldsymbol {Z}}({\boldsymbol {B't}})=e^{i{\boldsymbol {t'\mu }}}\exp\{-{\boldsymbol {t'BI_{d}B't}}/2\}=\varphi _{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {t}}),\quad {\boldsymbol {t}}\in \mathbb {R} ^{d},}$$

on hem utilitzat la funció característica de ${\displaystyle {\boldsymbol {Z}}}$ donada a (3).

Finalment, vegem que (c) ${\displaystyle \Rightarrow }$ (a). Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}\in \mathbb {R} ^{d}}$. Aleshores ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda 'X}}}$ tindrà la mateixa llei (amb les notacions anteriors) que

$${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda 'U}}={\boldsymbol {\lambda 'BZ}}+{\boldsymbol {\lambda '\mu }}}$$

i llavors, per a ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$,

$${\displaystyle \varphi _{\boldsymbol {\lambda 'U}}(t)=e^{it{\boldsymbol {\lambda '\mu }}}\varphi _{\boldsymbol {\lambda 'BZ}}(t)=e^{it{\boldsymbol {\lambda '\mu }}}\varphi _{\boldsymbol {Z}}({\boldsymbol {B'\lambda t}})=e^{it{\boldsymbol {\lambda '\mu }}}\,\exp\{-({\boldsymbol {B'\lambda }}t)'{\boldsymbol {B'\lambda }}t/2\}=e^{it{\boldsymbol {\lambda '\mu }}}\,e^{-{\boldsymbol {\lambda '\Sigma \lambda }}\,t^{2}/2},}$$

on reconeixem la funció característica d'una variable aleatòria normal. Per tant ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda 'U}}}$ (i, llavors ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda 'X}}}$) té una distribució normal.

Existència de vectors aleatoris normals

En el cas no singular, l'existència de vectors aleatoris normals ve donada per resultats generals de la teoria de la probabilitat. Concretament, existeix un espai de probabilitat ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ i un vector aleatori ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}:\mathbb {R^{d}} \to \mathbb {R} }$ que té funció de densitat (1).^[16]
En relació amb la definició general, utilitzant la terminologia de Loeve,^[17] les definicions (a) i (b) són descriptives, mentre que (c) és constructiva. Si es parteix d'(a) o (b) cal demostrar l'existència de l'objecte matemàtic que compleix aquesta propietat: ¿existeix un vector aleatori que complexi la propietat enunciada a (a)? ¿Existeix un vector aleatori tal que tingui (4) per funció característica? la resposta a ambdues preguntes ve donada per l'equivalència amb la definició (c).

Propietats

1. Esperança i matriu de variàncies covariàncies d'un vector aleatori normal. Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$. Aleshores el seu vector d'esperances és ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ i la seva matriu de variàncies-covariàncies és ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=E[{\boldsymbol {X}}]={\big (}E[X_{1}],\dots ,E[X_{d}]{\big )}'\quad {\text{i}}\quad {\boldsymbol {\Sigma }}={\big (}\sigma _{ij}{\big )}_{i,j=1\dots ,d}={\big (}{\text{Cov}}(X_{i},X_{j}){\big )}_{i,j=1\dots ,d}.}$$

Demostració

Utilitzarem la representació de la definició (c) i les propietats del vector d'esperances. Amb les notacions de la definició (c),

$${\displaystyle E[{\boldsymbol {X}}]=E[{\boldsymbol {BZ}}+{\boldsymbol {\mu }}]={\boldsymbol {B}}E[{\boldsymbol {Z}}]+{\boldsymbol {\mu }}={\boldsymbol {\mu }},}$$

ja que, segons havíem comentat a la primera secció, ${\displaystyle E[{\boldsymbol {Z}}]={\boldsymbol {0}}}$.
Designem per ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {M}})}$ la matriu de variàncies-covariàncies d'un vector aleatori ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$. Llavors, per les propietat de la matriu de variàncies-covariàncies,

$${\displaystyle {\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {X}})={\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {B}}Z+{\boldsymbol {\mu }})={\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {Z}}){\boldsymbol {B}}'={\boldsymbol {\Sigma }},}$$

ja que ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {Z}})={\boldsymbol {I}}_{k}}$.

2. Transformacions lineals ^[18]. Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$, amb ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ semidefinida positiva, ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ una matriu ${\displaystyle k\times d}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}\in \mathbb {R} ^{k}}$. Definim

$${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}={\boldsymbol {CX}}+{\boldsymbol {b}}.}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}\sim {\mathcal {N}}_{k}({\boldsymbol {\mu _{Y}}},{\boldsymbol {\Sigma _{Y}}})}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu _{Y}}}={\boldsymbol {C\mu }}+{\boldsymbol {b}}\quad {\text{i}}\quad {\boldsymbol {\Sigma _{Y}}}={\boldsymbol {C\Sigma C'}}.}$$

${\displaystyle k\leq d}$

${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$

${\displaystyle {\rm {rang}}\,{\boldsymbol {C}}=k}$

${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$

Demostració

La funció característica de ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$ és (vegeu les propietats de les funcions característiques multidimensionals)

$${\displaystyle \varphi _{\boldsymbol {Y}}({\boldsymbol {t}})=e^{i{\boldsymbol {t'b}}}\,\varphi _{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {C't}})=e^{i{\boldsymbol {t'b}}}e^{i{\boldsymbol {t'C\mu }}}e^{{\boldsymbol {t'C\Sigma C't}}/2}=e^{i{\boldsymbol {t'\mu _{Y}}}+{\boldsymbol {t'\Sigma _{Y}t}}/2},\qquad {\boldsymbol {t}}\in \mathbb {R} ^{k}.}$$

Per tant, identifiquem un vector normal multidimensional amb vector d'esperances ${\displaystyle {\boldsymbol {C\mu }}+{\boldsymbol {b}}}$ i matriu de variàncies covariàncies ${\displaystyle {\boldsymbol {C\Sigma C'}}}$.
Per veure que si ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ és no singular i ${\displaystyle {\rm {rang}}\,{\boldsymbol {C}}=k}$, aleshores ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$ és no singular, s'utilitza que en aquestes condicions ${\displaystyle {\boldsymbol {C\Sigma C'}}}$ és definida positiva ^[19].

3. Reducció a un vector aleatori normal estàndard ^[20]. Com a conseqüència de la propietat anterior tenim: Suposem que ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$ és no singular. Atès que existeix una única matriu definida positiva ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}}$ tal que ${\displaystyle {\boldsymbol {(}}\Sigma ^{1/2})^{2}={\boldsymbol {\Sigma }}}$ ^[21], anomenada arrel quadrada de ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$, i designem per ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}}$ la seva inversa,^[22] aleshores

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}{\big (}{\boldsymbol {X}}-{\boldsymbol {\mu }}{\big )}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{d}).\qquad \qquad (5)}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {Z}}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{d})}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}+{\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}{\boldsymbol {Z}}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}).}$$

4. Distribucions marginals ^[23]. Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$. Aleshores qualsevol subvector és normal.

Demostració

Només cal utilitzar que qualsevol subvector es pot escriure de la forma ${\displaystyle {\boldsymbol {CX}}}$ per a una matriu convenient ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ i aplicar la propietat 2.

Observació: El recíproc no és cert: un vector aleatori pot tenir totes les components normals, però no ser un vector aleatori normal.

Contraexemple. Un vector aleatori amb les components normals, que no és normal bidimensional

Aquest contraexemple és de Tong.^[24] Considerem un vector aleatori ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},X_{2})^{\prime }}$ amb funció de densitat

$${\displaystyle f(x_{1},x_{2})={\begin{cases}{\tfrac {1}{\pi }}e^{-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})/2},&{\text{si }}(x_{1},x_{2})\in [-1,0]^{2}\cup [0,1]^{2},\\0,&{\text{si }}(x_{1},x_{2})\in ([-1,0]\times [0,1])\cup ([0,1]\times [-1,0]),\\{\tfrac {1}{2\pi }}e^{-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})/2},&{\text{altrament}}.\end{cases}}}$$

Llavors, es comprova que ${\displaystyle X_{1}}$ i ${\displaystyle X_{2}}$ són ambdues ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$, però és clar que ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ no és un vector aleatori normal bidimensional.

5. Funció generatriu de moments ^[25] Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$. Aleshores ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ té funció generatriu de moments en tot ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ i val

$${\displaystyle M_{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {t}})=E[e^{{\boldsymbol {t}}'{\boldsymbol {X}}}]=e^{\,{\boldsymbol {t}}'{\boldsymbol {\mu }}+{\boldsymbol {t}}'{\boldsymbol {\Sigma }}{\boldsymbol {t}}/2},\quad {\boldsymbol {t}}\in \mathbb {R} ^{d}.}$$

6. Independència. És ben conegut que si dues variables aleatòries són independents llavors són incorrelacionades, o sigui, la seva covariància és zero. En general el recíproc no és cert. però és veritat quan les variables tenen distribució conjunta normal.

(i) Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})'\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$. Aleshores les variables aleatòries ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{d}}$ són independents si i només si ${\displaystyle {\rm {Cov}}(X_{i},X_{j})=0,\ i\neq j}$.^[26] Equivalentment, si la matriu ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ és diagonal.

(ii) Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})'\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$, i ${\displaystyle 2\leq r\leq d}$. Escrivim

$${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{1}=(X_{1},\dots ,X_{r-1})'\quad {\text{i}}\quad {\boldsymbol {X}}_{2}=(X_{r},\dots ,X_{d})'}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{1}=E[{\boldsymbol {X}}_{1}]=(\mu _{1},\dots ,\mu _{r-1})'\quad {\text{i}}\quad {\boldsymbol {\mu }}_{2}=E[{\boldsymbol {X}}_{2}]=(\mu _{r},\dots ,\mu _{d})'.}$$

D'altra banda, partim la matriu ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ de la següent manera:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\Sigma }}_{11}&{\boldsymbol {\Sigma }}_{12}\\\Sigma _{21}&{\boldsymbol {\Sigma }}_{22}\end{pmatrix}},}$$

on ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{12}}$ és matriu de covariàncies dels vectors ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{1}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{2}}$,

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{12}={\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}}_{1},{\boldsymbol {X}}_{2})={\big (}{\rm {Cov}}(X_{n},X_{m}{\big )}_{n=1,\dots ,r-1 \atop m=r,\dots ,d~~}.}$$

Noteu que ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{21}={\boldsymbol {\Sigma }}_{12}'}$. Aleshores ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{1}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{2}}$ són independents si i només si ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{12}={\boldsymbol {0}}}$ ^[27].

(iii) La propietat anterior es generalitza a qualsevol partició del vector ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$ en vectors ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {X}}_{k}}$: aquests vectors són independents si i només si les matrius de covariàncies compleixen que ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}}_{i},{\boldsymbol {X}}_{j})={\boldsymbol {0}},\ i\neq j}$ ^[28].

Estudi del casos singular i no singular

Anem a demostrar les dues propietats que hem esmentat després de donar les tres definicions de vector aleatori normal general; concretament, sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$, amb ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ semidefinida positiva.

(i) Si ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ és definida positiva (cas no singular), això és, ${\displaystyle {\text{det}}\ {\boldsymbol {\Sigma }}>0}$, aleshores ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ té funció de densitat donada per (1). El suport de la distribució és ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$.

(ii) Si ${\displaystyle {\text{det}}\ {\boldsymbol {\Sigma }}=0}$ (cas singular), aleshores ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ no té funció de densitat. Si el rang de ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ és ${\displaystyle r<d}$, llavors ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ està concentrada en un subespai lineal de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ de dimensió ${\displaystyle r}$

; concretament en ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}+{\text{Span}}({\boldsymbol {\Sigma }})}$, on ${\displaystyle {\text{Span}}({\boldsymbol {\Sigma }})}$ és l'espai generat per les columnes de ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$.
La demostració de (i) es basa en la representació (5) que hem vist a la propietat 2. Concretament, definim el vector ${\displaystyle {\boldsymbol {Z}}}$ de la següent manera:

$${\displaystyle {\boldsymbol {Z}}={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}{\big (}{\boldsymbol {X}}-{\boldsymbol {\mu }}{\big )}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{d}).}$$

Tal com hem vist a (2), ${\displaystyle {\boldsymbol {Z}}}$ té densitat

$${\displaystyle f_{\boldsymbol {Z}}({\boldsymbol {z}})={\frac {1}{(2\pi )^{d/2}}}\,e^{-{\boldsymbol {z}}'{\boldsymbol {z}}/2}.}$$

Aïllant ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ tenim,

$${\displaystyle {\boldsymbol {X}}={\boldsymbol {\mu }}+{\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}{\boldsymbol {Z}}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}).}$$

Ara aplicarem la fórmula de la transformació d'un vector aleatori amb densitat, utilitzant l'aplicació ${\displaystyle h:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}}$ definida per

$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=h({\boldsymbol {z}})={\boldsymbol {{\boldsymbol {\mu }}+\Sigma ^{1/2}z}}.}$$

L'aplicació inversa és

$${\displaystyle {\boldsymbol {z}}=g({\boldsymbol {x}})=h^{-1}({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }}).}$$

La matriu jacobiana de ${\displaystyle g}$ és ${\displaystyle J_{g}={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}}$ . Llavors, la densitat de ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ és

$${\displaystyle f_{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{d/2}}}\,{\text{exp}}{\Big \{}-{\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }})^{\prime }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }})\}\,\vert {\text{det}}\,{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}\vert ,}$$

d'on s'obté l'expressió (1). Aquesta funció de densitat és estrictament positiva a tot ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, d'on el suport del vector és ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$.

Demostració de (ii). Aquesta demostració es basa en l'anomenat Teorema de descomposició espectral de matrius semidefinides positives, vegeu ^[29]. Siguin ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{r}}$ els valors propis no nuls de ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$. Existeix una matriu ortogonal ${\displaystyle d\times d}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ tal que

$${\displaystyle {\boldsymbol {Q'\Sigma Q}}={\boldsymbol {D}}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\&\lambda _{2}\\&&\ddots \\&&&\lambda _{r}\\&&&&0\\&&&&&\ddots \\&&&&&&0\end{pmatrix}}.}$$

Definim

$${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}={\boldsymbol {Q}}'({\boldsymbol {X}}-{\boldsymbol {\mu }}),\qquad \qquad (*)}$$

que és un vector normal amb vector d'esperances ${\displaystyle {\boldsymbol {0}}}$ i matriu de variàncies-covariàncies

$${\displaystyle {\rm {\bf {Var}}}({\boldsymbol {Y}})={\boldsymbol {Q'\Sigma Q}}={\boldsymbol {D}}.}$$

Per tant, ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}=(Y_{1},\dots ,Y_{r},0,\dots ,0)^{\prime }}$. Definim ${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {V}}}=(Y_{1},\dots ,Y_{r})^{\prime }}$ , que segons la propietat anterior serà normal no singular ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{r}({\boldsymbol {0}},{\widetilde {\boldsymbol {D}}})}$ on

$${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {D}}}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\&\lambda _{2}\\&&\ddots \\&&&\lambda _{r}\\\end{pmatrix}}.}$$

Sigui ${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {Q}}}}$ la matriu ${\displaystyle d\times r}$ formada per les primeres ${\displaystyle r}$ columnes de la matriu ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$. Llavors, aïllant a (*) tenim

$${\displaystyle {\boldsymbol {X}}={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {Y}}+{\boldsymbol {\mu }}={\widetilde {\boldsymbol {Q}}}{\widetilde {\boldsymbol {Y}}}+{\boldsymbol {\mu }}.}$$

Això implica que el vector ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ està concentrat en el espai lineal de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ de dimensió ${\displaystyle r}$:

$${\displaystyle \{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {y}}+{\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {y}}\in \mathbb {R} ^{d}\}=\{{\boldsymbol {x}}={\widetilde {\boldsymbol {Q}}}{\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {u}}\in \mathbb {R} ^{r}\}.}$$

Finalment, veiem que aquesta varietat lineal coincideix amb ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}+{\text{Span}}({\boldsymbol {\Sigma }})}$, on ${\displaystyle {\text{Span}}({\boldsymbol {\Sigma }})}$ és l'espai generat per les columnes de ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$. Això consisteix en demostrar que ${\displaystyle {\text{Span}}({\boldsymbol {\Sigma }})={\text{Span}}({\widetilde {\boldsymbol {Q}}})}$. Recordem que per una matriu ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ de dimensions ${\displaystyle m\times n}$, el conjunt generat per les seves columnes, ${\displaystyle {\text{Span}}({\boldsymbol {A}})}$,consisteix en els vectors de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ de la forma ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {w}},\ {\boldsymbol {w}}\in \mathbb {R} ^{n}}$. Atès que ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}={\boldsymbol {QDQ'}}}$, per a qualsevol ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\in \mathbb {R} ^{d}}$,

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma v}}={\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {DQ'v}})={\widetilde {\boldsymbol {Q}}}{\widetilde {\boldsymbol {u}}},}$$

on ${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {u}}}}$ és el vector format per les primeres ${\displaystyle r}$ components del vector ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {DQ'v}}}$. En conseqüència, ${\displaystyle {\text{Span}}({\boldsymbol {\Sigma }})\subset {\text{Span}}({\widetilde {\boldsymbol {Q}}})}$. Del fet que ${\displaystyle {\text{rang}}({\boldsymbol {\Sigma }})=r={\text{rang}}({\widetilde {\boldsymbol {Q}}})}$ es dedueix la igualtat entre els dos subespais vectorials.

Moments. Fórmula d'Isserlis o de Wick

Atès que un vector aleatori normal té funció generatriu de moments, tindrà moments de tots els ordres, i com que la distribució del vector normal només depèn de les mitjanes i les covariàncies de les components, els moments només deprendran d'aquestes quantitats; tot i aquesta consideració apriorística, és sorprenent que es pugui trobar una fórmula per als moments tan elegant i simple com la que presentem a continuació.

Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})'\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {\Sigma }})}$ (les components poden ser iguals). Aleshores ^[30]

on la suma es fa sobre totes les descomposicions del conjunt ${\displaystyle \{1,2,\dots ,d\}}$ en parelles disjuntes ${\displaystyle \{i_{k},\,j_{k}\}}$.
Per exemple,

$${\displaystyle E[X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}]=E[X_{1}X_{2}]\,E[X_{3}X_{4}]+E[X_{1}X_{3}]\,E[X_{2}X_{4}]+E[X_{1}X_{4}]\,E[X_{2}X_{3}],}$$

${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$

${\displaystyle \{1,2\},\,\{3,4\}}$

${\displaystyle \{1,3\},\,\{2,4\}}$

${\displaystyle \{1,4\},\,\{2,3\}}$

Quan hi ha variables repetides, es fan les identificacions a la fórmula anterior: per exemple, per calcular ${\displaystyle E[X_{1}^{2}X_{2}^{2}]}$, prenem ${\displaystyle X_{3}=X_{1}}$ i ${\displaystyle X_{4}=X_{2}}$. Llavors,